Dona un raonament que demostri que la suma d'un nombre racional i un nombre irracional és sempre un nombre irracional.
(Pag 32, problema 57)
miércoles, 3 de noviembre de 2010
Demostració racional
Dona un raonament que demostri que la suma d'un nombre racional i un nombre irracional és sempre un nombre irracional.
(Pag 32, problema 57)
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7 comentarios:
n. racional + n. irracional = numero irracional
siempre sera irracional porque
le sumemos el numero que le sumemos la parte decimal seguira formada por numeros no periódicos aun sumandolo con un numero periódico puro o mixto, porque al tener los decimales diferentes sumandole todo el rato el mismo numero (parte decimal del numero periódico puro o mixto) acabaran siendo igualmente numeros diferentes.
DaniQC
racional + racional = racional
racional · racional = racional
pero
irracional + irracional = depende
irracional · irracional = depende
Veamos unos ejemplos de esto último:
-> raiz (2) ·raiz (2) = 2
-> raiz (2) ·raiz (3) = raiz (6)
...
Visto esto, lo que dices parece intuitivamente correcto, pero ¿puedes dar un argumento irrefutable?
irracional + irracional = irracional
te as equivocado , no?
DaniQC
e mirado un poco lo de reduccion al absurdo del libro i e exo esto
P= n. irracional
a/b+P=c/d
P=c/d-a/b
deducimos que es falso porque la suma o resta de fracciones da como resultado otra fraccion i los numeros irracionales no se pueden expresar como fracciones, si esto es falso significa que la hipotesis es cierta
DaniQC
No Dani, es correcto decir:
irracional + irracional = depende
Veamos unos casos:
primer ejemplo:
raiz (2) es irracional
- raiz (2 ) también es irracional
su suma es 0 (racional)
segundo ejemplo:
0,1234567891011... es irracional
0,8765432108988... es irracional
su suma es 0,999999... (racional)
tercer ejemplo:
0,010010001... es irracional
0,020020002... es irracional
su suma es 0,030030003 (irraciona)
Como hay casos en que la suma es racional y otros donde es irracional lo correcto es decir "depende" o "puede ocurrir cualqueira de los dos"
un saludo
pero lo mio esta bien o no???
DaniQC
"Reducción al absurdo" es una técnica de demostración muy potente. Si eliminamos las opciones imposibles y queda una única opción, ésta ha de ser verdadera.
En este caso tu razonamiento es impecable: la suma de P con una fracción no puede dar una fracción ya que en ese caso P se podría poner como la resta de dos fracciones lo que es imposible en los números irracionales.
Como sólo hay dos posibilidades para la suma (racional o irracional) y una de ellas es imposible, es necesario que esa suma sea la otra opción (IRRACIONAL).
Esa demostración que hay en el libro sobre la irracionalidad de raiz (2) se ve luego en primero de bachillerato y vale igualmente para raíz de 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12...
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