Feliz Navidad

Os deseo una muy feliz Navidad y también lo mejor en este año 2011 que empieza dentro de muy poco.

¡Espero que os guste el árbol!

Por si os apetece resolver unos acertijos, os pongo un enlace al problema de los rascacielos y otro con unos entretenidos ejercicios del mismo:

web del mmaca (Museo de matemáticas de Catalunya)

utilitatseuclides.googlepages.com/gratacels.pdf

La mitad del cuadrado

Si tomas un cuadrado de papel, ¿cómo se puede doblar para obtener otro cuadrado cuya área sea la mitad del de partida?
Explícalo detenidamente.

(Observa que si lo doblas por la mitad obtienes un rectángulo y no un cuadrado y si lo doblas dos veces por la mitad, una horizontalmente y otra verticalmente, te queda un cuadrado pero de área la cuarta parte)

El problema del año nuevo

Desde hace más de 2000 años se sabe que 3^2 + 4^2 = 5^2. Es decir, hay 3 números consecutivos (3, 4 y 5) tales que la suma de los cuadrados de los dos primeros coincide con el cuadrado del siguiente.

Hallar cinco enteros consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los tres primeros coincida con la suma de los cuadrados de los dos últimos.

Una vez lo tengáis resuelto, ¿Qué tiene que ver con el año? ¿Y con los polinomios?

Bencinera d'urgència

L'Elisenda omple el dipòsit del cotxe en una gasolinera.
Quan ha recorregut 4/7 del viatge, veu que li queden 3/5 del dipòsit de bencina.
Pot acabar el viatge amb la bencina que li queda? (problema 41 pag 62)

Formulando primos

Los matemáticos han buscado fórmulas que nos generen números primos (que sólo son divisibles por 1 y ellos mismos, "nombres primers" en català). En la imagen tenéis la conocida "criba de Eratóstenes"

a) Comprueba que el polinomio P(x) = x^2 + x + 17 genera números primos cuando calculamos el valor numérico para x= 0, 1, 2, ...

b) Encuentra el primer número natural para el que p(n) es un número compuesto.
(problema 33 pag 50)

Més miralls

A l'anterior entrada varem parlar de les simetries i la geometria. Ara canviarem el mirall per un de horitzontal (la linia horitziontal del mig de la imatge de la esquerra). 
Algunes paraules tenen la propietat de que, quan es reflecteixen en un mirall situat horitzontalment a sota de la paraula, aquesta es llegueixen igual. Per exemple la paraula "COCO" cumpleix aqueta propietat. Pots escriure altres paraules (a més de "COCO") que tinguin aquesta propietat?

Otro de balanzas

En un comentario al problema de balanzas de la semana pasada (Monedas falsas) propuse el siguiente problema:
(1) Hay 12 monedas con una de ellas falsa, debes descubrir cual es y si la "falsa" pesa un poco menos o un poco más que las otras. Dispones de 3 pesadas con una balanza que te dice si uno de los lados pesa más. menos o igual que el otro, ¿cómo lo haces?
Daniel lo intentó pero su solución no era correcta, si queréis para abrir boca podemos pensar dos casos más sencillos: 
(2) Hay 4 monedas con una de ellas falsa, pero no sabemos si la "falsa" pesa un poco menos o un poco más que las otras. Además hay otras monedas que sabes que no son falsas. Dispones de 2 pesadas con una balanza que te dice si uno de los lados pesa más. menos o igual que el otro, ¿cómo lo haces?
(3) Hay un sencillo argumento que demuestra que con 2 pesadas es imposible descubir la falsa entre 5 monedas, ¿sabes decir el porqué?


Ps: Si tenéis tiempo mirad el video de dos entradas abajo.

Autoevaluación tema 2

Observad que 3 de los 4 problemas han salido en las PAU de años anteriores
https://sites.google.com/site/atorreci2010/archivos-para-descarga/sol_auto2.pdf

Un video interesante

Si tenéis un momento de respiro tras acabar los exámenes podéis ver este vídeo  muy interesante y entretenido en el que se habla de los enormes conocimientos matemáticos de los chinos, los indios y los árabes.
http://vimeo.com/15237937


Se puede ver aquí mismo (abajo)

Historia de las matemáticas 2. La Sabiduría de Oriente from ramicao on Vimeo.

Paraules simètriques

En Geometria son importants les simetries.
Algunes paraules tenen la propietat de que, quan es reflecteixen en un mirall situat verticalment al final de la paraula, es llegueixen igual. Per exemple la paraula "TOT" cumpleix aqueta propietat. En canvi, la paraula "MOTA" es veuria com "ATOM" o "JA" es veuria com "AL".
Pots escriure altres paraules (a més de "TOT") que tinguin aquesta propietat? (pag 207  del llibre de 1r)

Monedas falsas

Maria tiene 9 monedas de oro pero tiene una que es falsa y pesa un poco menos que las otras. Dispone de una balanza con dos platos (que permite comparar dos cantidades de monedas). ¿Podrá saber cual es la moneda falsa con únicamente dos pesadas?
(pag 101 del llibre de 4rt)

... I si són 27 monedes i 3 pesades?

Suma'n 100

(Llibre de 1r ESO, pag 45)
Aconsegueix que el resultat sigui 100 utilitzant les xifres 1,2,3,4,5,6,7,8 i 9 sense canviar-ne l'ordre ni repetir-ne cap.
Pot emprar els signes de les 4 operacions bàsiques i els parèntesis.

Aquest problema té moltes solucions, un exemple és:
123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100

Repartiment de cocos

(Llibre de 4rt ESO, pag 51) 
Cinco hombres y un mono naufragan en una isla desierta. Tras pasar el día recogiendo cocos, los juntan y se ponen a dormir.

Por la noche, uno de ellos despierta y divide los cocos en cinco montones. Le sobra un coco y se lo da al mono, luego esconde su parte y deja lo demás donde estaba.
Poco después un segundo náufrago se despierta y hace lo mismo. Al dividir los cocos en cinco montones vuelve a sobrar un coco y se lo da también al mono. También esconde su parte y deja lo demás donde estaba.

Uno tras otro, el tercero, cuarto y quinto náufragos hacen lo mismo y se repite la situación. 

Por la mañana, al día siguiente, dividieron los cocos en cinco montones sin que sobrara ninguno. ¿Cuántos se habían recolectado inicialmente?

Dani, ... este problema es más difícil de lo habitual, añado unas pistas.

1.-En cada reparto se hacen cinco montones de cocos y sobra uno para el mono, ¿Sabrías decir números que tuvieran esa propiedad? ¿Puedes expresar estos números de forma abstracta mediante el lenguaje algebraico?

2.-Tras el primer reparto los cuatro montones que deja el primer marinero se distribuyen en cinco montones más el del mono, en lo que constituye el segundo reparto ¿Puedes poner números que correspondan a esta situación?¿Podrías expresar esto con lenguaje algebraico? 

Soluciones derivadas

Soluciones derivadas - tema 1 de 2º batx
https://sites.google.com/site/atorreci2010/archivos-para-descarga/ejercicioderivadas.pdf?attredirects=0&d=1

Observación: La "i" no coincide con el libro.

De nou el 9

Com has de col·locar les xifres de l'1 al 9 perquè utilitzant-les totes i sense repetir-ne cap, obtinguis un nombre divisible per 9?

(No us confongueu amb el sudoku, és per fer bonic i només el poso perquè també té les xifres de l'1 al 9)

(Pàgina 31 del llibre de 1r)

Raíces difíciles

Demuestra las siguientes igualdades:
a) Arrel (9 + 2·Arrel (18)) = Arrel (3) + Arrel (6)

b) Arrel quarta (161 - 72 · arrel (5)) = Arrel (5) - 2

on Arrel (x) vol dir "l'arrel quadrada d'x"
(pag 33 del llibre de 4rt)

Càlcul mental

Sense fer-ne cap càlcul, decideix quins valors han de prendre les lletres (cada lletra equival a un dígit) perquè:
a) "374A" sigui divisible per 2 i per 3.
b) "87B" sigui divisible per 2 i per 5
c) "8C" sigui divisible per 11
d) "3D12E" sigui divisible per 3, 5 i 11
e) "4FG" sigui divisible per 2, 3 i 11

(pag 30, activitat 27)

Demostració racional

Es conegut que la suma de dos nombre racionals és sempre un nombre racional. (Com a demostració tenim que la suma de dos fraccions és sempre una altra fracció)

Dona un raonament que demostri que la suma d'un nombre racional i un nombre irracional és sempre un nombre irracional.

(Pag 32, problema 57)

Dudas

" -Pregunta, hijo. Pregunta con valentía todo cuanto desees. Yo te responderé. Peor es para los hombres no saber qué preguntar. Sólo aquel que ha preguntado mucho puede comprender mucho. Y sólo aquel que mucho comprende hace justicia." (Stefan Zweig)
Aquí podéis poner vuestras preguntas (como comentarios). Trataré de responder lo antes posible, si alguno de vosotros se adelanta y responde, le estaré agradecido.

Nombres perfectes

Anomenem "nombre perfecte" a aquell que és igual a la suma de tots els seus divisors més petits que ell.
Per exemple el 6 és un nombre perfecte ja que els divisors són 1, 2 i 3 i tenim que 6 = 1+2+3.
En canvi el 8 no és un nombre perfecte ja que els divisors són 1 2 i 4 i tenim que 8 > 1+2+4 (no es cumpleix l'igualtat)

Pots trobar un nombre perfecte entre 25 i 30?
(pag 31 del llibre: Enginy)

De vacaciones

Unos amigos que viven en A quieren ir de vacaciones y tienen la intención de visitar 3 ciudades (B, C y D).
Las distancias en km son AB=354, AC=264, AD=215, BC=255, CD=150, BD=162.
Da la lista de los itinerarios posibles (no son muchos) e indica cual es el más corto.
(pag 260 libro act 59)

Lo pide Judit

A petición de la interesada he puesto una versión mejorada de las soluciones:

https://sites.google.com/site/atorreci2010/archivos-para-descarga/solauto1.pdf

Y las soluciones del 50 por si no diera tiempo mañana:

https://sites.google.com/site/atorreci2010/archivos-para-descarga/soluciones1_50.pdf

Autoeval_1 (2 BATX)

Hola,

Este curso y con respecto a las soluciones de las autoevaluaciones de 2BATX la editorial ha "desactivado" la opción que me permite convertir en pdf las soluciones y las he tenido que capturar como imagen y a partir de allí crear el pdf. Decidme que versión os es más cómoda (aún no hemos hecho el 1c).
https://sites.google.com/site/atorreci2010/archivos-para-descarga/solucionesauto_1.pdf
https://sites.google.com/site/atorreci2010/archivos-para-descarga/solucionesauto_1.jpg
Recordad que en MATEX (http://personales.unican.es/gonzaleof/# ) hay problemas adicionales.
... ¡Estudiad mucho!

Semàfors

En una cruilla hi ha 3 semàfors que canvien de vermell a verd cada 30, 36 i 42 segons respectivament. Tot just ara han canviat de color alhora.
Quant de temps ha de passar perquè tornin a coincidir?
-- (Llibre de 1r pag 30 act 22)
Recordeu que demà dijous hi ha la "Celebració de la Ment", podeu rellegir la entrada "cumpleaños" o mirar en la pàgina oficial: http://www.g4g-com.org/ on apareix una imatge amb una interessant propietat anomenada "ambigrama".
Just abaix, a una entrada de quart, he posat una altra imatge similar.

Más de potencias

El número x = 5^16·16^5 [(5 elevado a 16) multiplicado por (16 elevado a 5)] es el cuadrado de un número positivo N (es decir N=raíz (x)).
¿Cuánto vale la suma de las cifras de N?
-- (llibre de 4t: jocs matemàtics pag 33)
Recordad que mañana jueves se celebra la "Celebración de la Mente", podéis releer la entrada que pone cumpleaños o mirar en la página oficial: http://www.g4g-com.org/ donde aparece una imagen que al girarla cumple una vistosa propiedad ¿la véis?. Se llama ambigrama.
Os pongo una imagen mía similar:

Quin rotllo!

Si es mesuren els metres que fa un rotllo de cable de 2 en 2, en sobra 1 m.
Si es mesuren de 3 en 3 sobren 2 m.
Si es mesuren de 4 en 4 sobren 3 m.
Si es mesuren de 5 en 5 sobren 4 m.
(seria el mateix dir que falta un metre en tots aquest casos)
Sabem que el rotllo fa entre 50 m i 100 m.
Quina és  la longitud del rotllo de cable?

Llibre de 1r ESO pag 31
(Què té a veure aquest problema amb el m.c.m.?)

Potencias enormes

Razona en qué cifra acaba el resultado de las potencias siguientes:
a) 3 elevado a 42
b) 9 elevado a 15
c) 13 elevado a 31
d) 11 elevado a 22
(pag 33 libro de 4to ESO, Jocs matemàtics)

(La imagen es la portada de otro de los libros de Gardner, genio de la divulgación que nos dejó este año -mirad la entrada de cumpleaños-)

Cumpleaños

El 21 de octubre de este año se hace en todo el mundo una Celebración de la Mente (Celebration of the Mind) coincidiendo con la fecha en que Martin Gardner hubiera cumplido 96 años.

(además el  "simétrico" 12 nuestra Marta de 2-BATX cumple años, ... ¡felicidades!)

Martin Gardner nació en Tulsa, Oklahoma (Estados Unidos), el 21 de octubre de 1914. Estudió filosofía y después de graduarse se dedicó al periodismo. Saltó a la fama gracias a su columna mensual Juegos matemáticos, publicada en la revista de divulgación científica Scientific American entre diciembre de 1956 y mayo de 1986. A lo largo de esos treinta años trató los temás más importantes y paradojas de las matemáticas modernas, como los algoritmos genéticos de John Holland o el juego de la vida de John Conway, con lo que se ganó un lugar en el mundo de la matemática merced a la evidente calidad divulgativa de sus escritos.

No estaría de más que este jueves 21 nos acordáramos de él releyendo o leyendo uno de sus muchos libros. En la red hay varios de ellos, a modo de ejemplo os pongo un enlace con uno donde se habla de ilusiones ópticas y otras cosas: 

http://www.librosmaravillosos.com/circomatematico/capitulo01.html

Filatèlia

L'Anna té 2312 segells a la seva col·lecció. Ha comprat albums de 10 fulls amb capacitat per a 40 segells a cada full.
- Quants albums necessita?
- Quants fulls li queden lliures en el darrer album?
- Quants segells pot col·locar encara al full que no ha completat?

(Llibre de 1r, pag 14 act 27)

Diagonals racionals

Sabem que la diagonal d'un quadrat de costat 1m és igual a "arrel cuadrada de 2" = 1,4142... que és un nombre irracional.

Pot ser la diagonal d'un altre quadrat un nombre racional? 

Hi ha  més d'una solució?

(llibre de text de 4rt, pàg. 15)

Triangle 176

Col·loca els nombres adequats a cada cercle de manera que el producte dels nombres que hi ha a cada un dels costats del triangle sigui igual a 176.

(llibre de 1r, pàgina 10 exercici 24)

Comptant enters

a) Digues per a quins valors enters n obtenim que la fracció "6 dividit per n" també és un nombre enter.
b) Digues per a quins valors reals x obtenim que la fracció "6 dividit per x" és un nombre enter. (potser hi ha més solucions de les que penses)

Autoevaluaciones del tema 10 y 13 (1 BATX)

Las tenéis en:
https://sites.google.com/site/atorreci2010/archivos-para-descarga

Os añado un chiste de nivel de bachillerato: