Feliz Navidad

Os deseo una muy feliz Navidad y también lo mejor en este año 2011 que empieza dentro de muy poco.

¡Espero que os guste el árbol!

Por si os apetece resolver unos acertijos, os pongo un enlace al problema de los rascacielos y otro con unos entretenidos ejercicios del mismo:

web del mmaca (Museo de matemáticas de Catalunya)

utilitatseuclides.googlepages.com/gratacels.pdf

La mitad del cuadrado

Si tomas un cuadrado de papel, ¿cómo se puede doblar para obtener otro cuadrado cuya área sea la mitad del de partida?
Explícalo detenidamente.

(Observa que si lo doblas por la mitad obtienes un rectángulo y no un cuadrado y si lo doblas dos veces por la mitad, una horizontalmente y otra verticalmente, te queda un cuadrado pero de área la cuarta parte)

El problema del año nuevo

Desde hace más de 2000 años se sabe que 3^2 + 4^2 = 5^2. Es decir, hay 3 números consecutivos (3, 4 y 5) tales que la suma de los cuadrados de los dos primeros coincide con el cuadrado del siguiente.

Hallar cinco enteros consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los tres primeros coincida con la suma de los cuadrados de los dos últimos.

Una vez lo tengáis resuelto, ¿Qué tiene que ver con el año? ¿Y con los polinomios?

Bencinera d'urgència

L'Elisenda omple el dipòsit del cotxe en una gasolinera.
Quan ha recorregut 4/7 del viatge, veu que li queden 3/5 del dipòsit de bencina.
Pot acabar el viatge amb la bencina que li queda? (problema 41 pag 62)

Formulando primos

Los matemáticos han buscado fórmulas que nos generen números primos (que sólo son divisibles por 1 y ellos mismos, "nombres primers" en català). En la imagen tenéis la conocida "criba de Eratóstenes"

a) Comprueba que el polinomio P(x) = x^2 + x + 17 genera números primos cuando calculamos el valor numérico para x= 0, 1, 2, ...

b) Encuentra el primer número natural para el que p(n) es un número compuesto.
(problema 33 pag 50)

Més miralls

A l'anterior entrada varem parlar de les simetries i la geometria. Ara canviarem el mirall per un de horitzontal (la linia horitziontal del mig de la imatge de la esquerra). 
Algunes paraules tenen la propietat de que, quan es reflecteixen en un mirall situat horitzontalment a sota de la paraula, aquesta es llegueixen igual. Per exemple la paraula "COCO" cumpleix aqueta propietat. Pots escriure altres paraules (a més de "COCO") que tinguin aquesta propietat?

Otro de balanzas

En un comentario al problema de balanzas de la semana pasada (Monedas falsas) propuse el siguiente problema:
(1) Hay 12 monedas con una de ellas falsa, debes descubrir cual es y si la "falsa" pesa un poco menos o un poco más que las otras. Dispones de 3 pesadas con una balanza que te dice si uno de los lados pesa más. menos o igual que el otro, ¿cómo lo haces?
Daniel lo intentó pero su solución no era correcta, si queréis para abrir boca podemos pensar dos casos más sencillos: 
(2) Hay 4 monedas con una de ellas falsa, pero no sabemos si la "falsa" pesa un poco menos o un poco más que las otras. Además hay otras monedas que sabes que no son falsas. Dispones de 2 pesadas con una balanza que te dice si uno de los lados pesa más. menos o igual que el otro, ¿cómo lo haces?
(3) Hay un sencillo argumento que demuestra que con 2 pesadas es imposible descubir la falsa entre 5 monedas, ¿sabes decir el porqué?


Ps: Si tenéis tiempo mirad el video de dos entradas abajo.